带空气阻力的平抛运动
好玩。
引子
例0:一个质量为 $m$ 的小球以 $v_0$ 速度水平抛出，水平位移为 $x$，求末速度 $v_t$。已知重力加速度为 $g$，不计空气阻力。
做不出来的高三生可以不用高考了。
列以下方程：
$$
\begin{cases}
x=v_0t \\
v_t=\sqrt{v_0^2+\left(gt\right)^2}
\end{cases}
$$
解得：
$$ v_t=\sqrt{v_0^2+\frac{g^2x^2}{v_0^2}} $$
知水平位移求末速度
例1:一个质量为 $m$ 的小球以 $v_0$ 速度水平抛出，水平位移为 $x$，求末速度 $v_t$。已知重力加速度为 $g$，空气阻力为 $f=kv$。
水温开始升高。
容易发现，有了重力和空气阻力，加速度的方向和大小是在实时变化的，这很不利于我们分析。
于是，我们首先进行配速来处理重力的影响。
如图，由于速度是矢量，经过配速后竖直方向上便没有外力影响。
于是我们要考虑的仅是在 $v’$ 方向上的分析。
列动量定理（$s$ 为 $v’$ 方向上的位移）：
$$ \begin{eqnarray} -ft&=&mv’_t-mv’ \\ -\int_0^tkv\,dt&=&mv’_t-mv’ \\ -ks&=&mv’_t-mv’ \end{eqnarray} $$
又因为
$$ \begin{cases} s\cos\theta=x \\ v_t^2=v_t^{‘2}+v_g^2-2v’_tv_g\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \end{cases} $$
现在我们便可以解得 $v_t$ 的大小和方向，读者自算不难。
知水平位移求竖直位移
例2:一个质量为 $m$ 的小球以 $v_0$ 速度水平抛出，水平位移为 $x$，求下落高度 $h$。已知重力加速度为 $g$，空气阻力为 $f=kv$。
在例1中，我们依靠动量守恒，绕过了时间 $t$ 的计算，但是由于 $v_g$ 对竖直方向位移的贡献必须有 $t$ 进行计算，所以在例2中，我们必须解出 $s$ 与 $t$ 的关系式。
回到动量定理式中：
$$ -ks=mv’_t-mv’ $$
不妨设 $s=f(t)$，则 $v_t’=f’(t)$。
那么原式等价于：
$$ -kf(x)=mf’(x)-mv’ $$
现在这是一个微分方程。通过观察法和尝试法，我们可以解出：
$$ s=f(t)=\left(1-e^{\frac{k}{m}t}\right)\frac{mv’}{k} $$ 再结合以下方程式：
$$ \begin{cases} s\cos\theta=x \\ h=s\sin\theta+v_gt \end{cases} $$ 至此，我们便可以解出 $h$ 的大小。同样，读者自算不难。
后记
一道在常规练习题中从来没遇过的题目，结合了配速、微分动量和微分方程的知识。以及不是很超纲，特别是例1，只不过本地还是大概率不会考吧。
以及不难发现，与没有空气阻力的平抛运动一样，水平位移 $x$、竖直位移 $h$、末速度 $v_t$ 以及初速度 $v_0$ 是知二求二的。
后面可能会抽空把前面省的计算补回来。
思考题1:一个质量为 $m$ 的小球以 $v_0$ 速度以与水平方向夹角 $\theta$ 抛出，水平位移为 $x$，求下落高度 $h$。已知重力加速度为 $g$，空气阻力为 $f=kv$。
思考题2:一个质量为 $m$ 的小球以 $v_0$ 速度水平抛出，水平位移为 $x$，求下落高度 $h$。已知重力加速度为 $g$，空气阻力为 $f=kv^2$。