题解 ABC292F Regular Triangle Inside a Rectangle

很久都没有写过题解了

题意描述

求一个矩形内最大的正三角形的边长。

做法

很多，就不给代码了。

下面 $a$ 为宽，$b$ 为长。

并且显然，三角形是矩形的内接三角形且一个顶点在矩形顶点上最优。

二分角度

首先来个分讨：

1. 如果 $2a\le \sqrt{3}b$ 直接以 $a$ 为高，输出 $\frac{2\sqrt{3}a}{3}$ 即可。
2. 否则二分三角形与矩形夹角角度，具体参考这篇题解。

二分长度

首先来个分讨：

1. 同二分角度。
2. 否则二分三角形另一个顶点与矩形的一个顶点的距离，理论可做。

解方程

还是分讨，同二分角度。

设正三角形的边长为 $x$，我们可以列出下面这个方程： $$(a^2-\sqrt{x^2-b^2}{)}^2+(b^2-\sqrt{x^2-a^2}{)}^2=x^2$$ 稍微解亿解，就可以得到下面这个符合题意的解： $$x=2\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab}$$

二分方程的解

上接解方程。

不会解方程？没关系，我们可以二分。

($f(x)=(a^2-\sqrt{x^2-b^2}{)}^2+(b^2-\sqrt{x^2-a^2}{)}^2-x^2$ 图像，$a=1$ 且 $b=1$ 时)

可以观察到符合题意的解是最小的正整数解。

我们只需要控制二分的上限即可二分。

瓜豆原理

学过初中数学没？

根据画图可知，当正三角形的一个端点被固定在一点，另一点在一条直线上面移动，那么剩下的那个点的轨迹一定是一条直线。（自己去证）

那么我们现在已知定点坐标和动点的路径，那么可以算出剩下那个点的轨迹，找到与矩形的交点的坐标，根据距离公式算出解即可。